博士

傳統的恆函數做市商（CFMM）不太適合預測市場等應用。它們與時間無關，這意味著沒有流動性分配調整和流動性提供者保護，這是預測市場所必需的。

在本文中，我們提出了一種與 YieldSpace形式相似的時間依賴性AMM，隨著時間接近到期，它將流動性分散到“邊緣”。這導致任何時候最低數量的YES和NO股票，從而保護流動性提供者。

我們稱之為概率空間。

雖然YieldSpace的目標是在給定準備金比率的情況下為恆定利率定價，但ProbabilitySpace試圖根據隨機過程的潛在波動性和時間對YES和NO的概率進行定價。

1. AMM的推導

我們希望AMM在時間接近到期時將流動性分散到100%是和100%否。

在這裡，我們選擇“是”和“否”概率來遵循二元期權，因為“是”和“否”股票儲備比率的自然對數遵循正態分佈。

“是”和“否”的概率應隨著時間的流逝而增加或減少。

NO的概率可以表示為：

其中 N（d ） 是正態分佈 N（0，1） 的 CDF。

我們也可以將第一個方程重寫為：

這意味著價格，作為“否”和“是”的概率之比，隨著時間接近到期而增加到無窮大或減少到零。

使用 本文中的近似公式，我們可以執行單參數和雙參數近似，這使得微分方程更容易用解析解求解。

單參數近似

近似 N（d） 為：

在不失去一般性的情況下，讓

然後

因此，在時間 t

雙參數近似

近似 N（d） 為：

在不失去一般性的情況下，讓

然後

二階近似生成一個也難以求解的微分方程。因此，對於本文的其餘部分，我們使用單參數近似。

我們到達的AMM：

看起來與YieldSpace非常相似，只是t被1 / sqrt（t）取代。

2. 流動性指紋

我們可以通過使用 本文中的技術來分析流動性分佈的演變，測量相對於價格變動的流動性。

AMM的邊際價格為：

y 可以表示為 P 的函數：

P 可以用即時報價表示：

因此

📌 德莫斯連結：https://www.desmos.com/calculator/xozkru6lwz

正如我們從 Desmos 插圖中看到的那樣，隨著時間在 0 到期，AMM 按預期將流動性分散到 100% 是和 100% 否。

3. 非常數 s

上述計算假設 s 隨時間保持不變。

僅 當 x 和 y 保持在 s 時，s 才保持不變。

例如，如果 x = 2， y = 1：

t = 0.5 時，s = ~1.38

t = 0.25 時，s = ~1.33

因此，這裡我們討論當 s 不是恆定時 AMM 的演變。

具體來說，我們將 x 在 t = t0 時的邊際價格定義為 P0，將 t = t0 處的 s 值定義為 s0。

使用上述兩個公式，我們可以求解 x0 和 y0：

Assume when t < t0, x = x0, y = y0.

那麼我們可以將 s 表示為 t 的函數：

插入 x0 與 y0，求解 s：

在以下等式中取代 s ：

📌 德斯莫斯連結：https://www.desmos.com/calculator/6j6hpobjph

隨著時間的流逝，AMM會趨於平緩，這表明無論如何都有最少的“是”和“否”股票，以保護LP。

4. XMIN和Ymin

xmin 和 ymin 是指 AMM 在任何時候允許的 YES 和 NO 股票的最小數量。

Assume when t < t0, x = x0, y = y0.

如果 t >= 1，則 xmin = ymin = 0。

If t < 1,

可換出的最大股票數量：

當 t = 0 時，

因為 AMM 通過 （x0，y0）。

5. 流動性提供者保護

由於AMM的設計時間演變，流動性提供者受到保護：

• 隨著時間接近成熟，邊際價格變得更糟。
• 有最低數量的“是”和“否”不能換出的股票。

Assume when t < t0, x = x0, y = y0.

受保護百分比

如果是，

如果否，

發散損失（幾何）

假設在時間 t 發生一筆交易，將邊際價格從 P 帶到 Pk。

因此

背離損失（實際）

假設在時間 t 發生一筆交易，將邊際價格從 P 帶到 Pk。

這是自 t0 以來的第一筆交易，也是到期前的最後一筆交易。

如果是，

如果否，

📌 德莫斯連結：https://www.desmos.com/calculator/t8e7bp3fw5

這張Desmos插圖繪製了相對於 t 和 k 的實際散度損失。實際背離損失隨著時間接近成熟而減少。

6. 平衡器重量法

有一些替代的AMM可以通過數學方式生成，其演變類似於我們上面推導的AMM。

在平衡器中，

因此，我們可以選擇調整權重以滿足：

單參數近似

如果我們在指數常數中保持 y/x ，

如果指數中的 y/x 變化，

We assume the AMM goes through (x0,y0) at t = t0, and when t < t0, x = x0, y = y0.

第二個函數，其中指數中的 y/x 變化，令人驚訝地表現得非常相似：

但是，這兩個函數不滿足關係 -dy/dx = （y/x） ^ （1/sqrt （t））。具體來說，第一個函數只滿足 （x0， y0） 處的關係。

📌 德斯莫斯連結： https://www.desmos.com/calculator/yb27o12cxd

感謝Dan Robinson提出這個想法，感謝ayko2718，0xKaden，Allan Niemerg和Vanessa Tso的有益討論和反饋。

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